Постройте график функции y = |x|(x+1) - 6x. Определите, при каких значениях т прямая у т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции $$y = |x|(x+1) - 6x$$. Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq 0$$, то $$y = x(x+1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x$$.

Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2}$$.

$$y_v = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$$.

2. Если $$x < 0$$, то $$y = -x(x+1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x$$.

Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-7)}{2(-1)} = -\frac{7}{2} = -3.5$$.

$$y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25$$.

Теперь найдем значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

По графику видно, что это происходит при $$m = 0$$ и $$m = -6.25$$.

Ответ: -6.25; 0