25 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD, AD > BC.

Периметр трапеции равен 120: P = AB + BC + CD + AD = 120.

Так как трапеция равнобедренная, то 2AB + BC + AD = 120.

Площадь трапеции равна 540: S = 540.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

Следовательно, 2AB = BC + AD.

Подставляем в периметр: 2AB + 2AB = 120 => 4AB = 120 => AB = 30.

Значит, BC + AD = 2AB = 60.

Пусть высота трапеции равна h.

Площадь трапеции: S = (BC + AD) * h / 2 => 540 = 60 * h / 2 => h = 540 * 2 / 60 = 18.

В равнобедренной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности, поэтому r = h/2 = 9.

Тогда AD = a + b; h = 2r отсюда площадь S = (a+b)/2 * 2r = (a+b)*r = (60)*9 = 540

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (углы при основаниях равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC или BD).

Коэффициент подобия k = BC / AD.

Высота трапеции h = 18.

Пусть h1 - высота треугольника BOC, h2 - высота треугольника AOD. h1 + h2 = h = 18.

Так как треугольники подобны, то h1 / h2 = BC / AD = k.

h1 = k * h2 => k * h2 + h2 = 18 => h2 = 18 / (k+1).

Выразим k через стороны: P = 120; 2*AB+BC+AD = 120; AB=CD=30; BC+AD = 120-60=60;

S=540 = (AD+BC)/2*H

60/2 * H = 540; 30H = 540; H = 18

AB = 30; H=18, т.к. в трапецию вписана окружность.=> H=2r; r=9;

AB = (AD-BC)/2

AB² = H² + ((AD-BC)/2)²

900 = 324 + ((AD-BC)/2)²

576=((AD-BC)/2)²

24 = (AD-BC)/2

48=AD-BC

AD+BC=60

108=2AD => AD= 54 => BC =6;

К = BC/AD= 6/54=1/9;

Осталось вычислить

h1 = 1/9 * h2 ; h1+h2 = 18, h2 = 9/10*18; h1 = 1/10 * 18 = 1,8;

Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания 1,8.

Ответ: 1,8