7. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла в прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К, отличных от точки В. Найдите РК, если ВН-12.

Дано: треугольник АВС, угол В = 90°, ВН – высота, окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К, ВН = 12.

Найти: РК.

Решение:

1) Т.к. угол ВРА опирается на диаметр ВН, то угол ВРА = 90°. Следовательно, РН – высота треугольника АВН.

2) Аналогично, угол ВКН = 90°, следовательно, КН – высота треугольника СВН.

3) Угол В – общий для треугольников АВС и РВК.

4) Угол ВРА = углу ВКН = 90°.

5) Следовательно, треугольники АВС и РВК подобны по двум углам.

6) Коэффициент подобия k = BH / AB.

7) РК || АС.

8) Угол ВНР = углу ВАH, угол BKH = углу ВСА.

9) Треугольники PRK и ABC подобны, РК = АС * k.

10) В прямоугольном треугольнике АВС, ВН = 12. Т.к. ВН – высота, проведенная к гипотенузе, то ВН² = АН * СН.

11) Треугольник РВК также прямоугольный, следовательно, РК = ВН = 12.

Ответ: 12