24. Окружности с центрами в точках М и № не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как kl. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, со- единяющий их центры, в отношении к:l.

Доказательство:

Пусть окружности с центрами M и N имеют радиусы R и r соответственно, и R/r = k/l.

Пусть A и B - точки касания внутренней общей касательной с окружностями с центрами M и N, соответственно. Пусть O - точка пересечения отрезка MN и общей касательной AB.

Треугольники MAO и NBO подобны, так как углы MAO и NBO прямые (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания), и углы MOA и NOB равны как вертикальные.

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{MO}{NO} = \frac{MA}{NB} = \frac{R}{r} = \frac{k}{l}$$

Следовательно, точка O делит отрезок MN в отношении k:l.

Ответ: Доказано