24. Окружности с центрами в точках Ри Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а: в. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как а: b.

Пусть даны две окружности с центрами в точках P и Q, не имеющие общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой.

Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b.

Докажем, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

Решение:

Пусть A и B – точки касания внутренней общей касательной с первой и второй окружностями соответственно, а O – точка пересечения PQ и этой касательной. Тогда PO:OQ = a:b.

Треугольники APO и BQO подобны по двум углам (углы A и B прямые, углы при вершине O равны как вертикальные). Из подобия следует, что AP/BQ = PO/OQ = a/b.

AP и BQ – радиусы окружностей, поэтому 2AP/2BQ = a/b.

2AP и 2BQ – диаметры окружностей, следовательно, диаметры этих окружностей относятся как a:b, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано