25. В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: КМ = 4 : 1. Прямая АК пересека- ет сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ.

Решение:

Пусть S(ABK) - площадь треугольника ABK.

Пусть S(KPCM) - площадь четырехугольника KPCM.

Нам надо найти отношение S(ABK) / S(KPCM).

По условию, ВК:КМ = 4:1.

Поскольку ВМ - медиана, AM = MC.

Из теоремы Менелая для треугольника BCM и прямой AP:

(BP/PC) * (CA/AM) * (MK/KB) = 1

(BP/PC) * (2/1) * (1/4) = 1

BP/PC = 2

BP = 2PC

BC = BP + PC = 3PC

S(ABM) = S(AMC), так как BM - медиана.

S(ABK) / S(KBM) = AK / KM = 4/1

S(ABK) = 4 S(KBM)

S(KBM) = 1/4 S(ABK)

S(ABC) = S(ABM) + S(ACM) = 2 S(ABM)

S(ABM) = S(ABK) + S(KBM)

S(ABM) = S(ABK) + 1/4 S(ABK) = 5/4 S(ABK)

S(ABC) = 2 * (5/4 S(ABK)) = 5/2 S(ABK)

S(ABP) = 2/3 S(ABC)

S(ABP) = 2/3 * (5/2 S(ABK)) = 5/3 S(ABK)

S(ABK) = S(ABP) - S(BKP)

Недостаточно информации для решения данной задачи.

Ответ: Нет данных