Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

График функции \( y = x^2 + 11x - 4|x+6| + 30 \) состоит из двух частей парабол:

• Для \( x \ge -6 \): \( y = x^2 + 7x + 6 \) (ветви вверх, вершина в точке \( (-3.5, -6.25) \)).
• Для \( x < -6 \): \( y = x^2 + 15x + 54 \) (ветви вверх, вершина в точке \( (-7.5, -2.25) \)).

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Чтобы она имела ровно три общие точки с графиком, она должна проходить через вершину одной из парабол и пересекать другую параболу в двух точках.

Рассмотрим вершины парабол:

• Вершина первой параболы (для \( x \ge -6 \)) находится в точке \( (-3.5, -6.25) \). Если \( m = -6.25 \), то прямая \( y = -6.25 \) будет касаться этой параболы в вершине (1 точка) и пересечет вторую часть параболы (для \( x < -6 \), \( y = x^2 + 15x + 54 \)) в двух точках (так как \( -6.25 \) ниже вершины \( (-7.5, -2.25) \)). Таким образом, при \( m = -6.25 \) будет 1 + 2 = 3 общие точки.
• Вершина второй параболы (для \( x < -6 \)) находится в точке \( (-7.5, -2.25) \). Если \( m = -2.25 \), то прямая \( y = -2.25 \) будет касаться этой параболы в вершине (1 точка) и пересечет первую часть параболы (для \( x \ge -6 \), \( y = x^2 + 7x + 6 \)) в двух точках (так как \( -2.25 \) выше вершины \( (-3.5, -6.25) \) и ниже значения \( y \) при \( x = -6 \), которое равно 0). Таким образом, при \( m = -2.25 \) будет 1 + 2 = 3 общие точки.

Ответ: m = -6.25 или m = -2.25.