В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Доказательство:

Условие \( \angle ABD = \angle ACD \) означает, что точки B, C, D, A лежат на одной окружности, потому что эти углы являются вписанными углами, опирающимися на дугу AD.

Следовательно, четырёхугольник ABCD — вписанный.

Углы \( \angle DAC \) и \( \angle DBC \) также являются вписанными углами.

Угол \( \angle DAC \) опирается на дугу DC.

Угол \( \angle DBC \) опирается на ту же дугу DC.

По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, \( \angle DAC = \angle DBC \).

Что и требовалось доказать.