Постройте график функции y = x²+11x-4|x+6|+30.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = x^2 + 11x - 4|x+6| + 30 \).

Возможны два случая в зависимости от знака выражения под модулем \( |x+6| \).

Случай 1: \( x+6 \ge 0 \), то есть \( x \ge -6 \).

В этом случае \( |x+6| = x+6 \).

Функция принимает вид: \( y = x^2 + 11x - 4(x+6) + 30 = x^2 + 11x - 4x - 24 + 30 = x^2 + 7x + 6 \).

Для построения графика найдём вершину параболы \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2} = -3.5 \).

\( y_в = (-3.5)^2 + 7(-3.5) + 6 = 12.25 - 24.5 + 6 = -6.25 \).

Найдем точки пересечения с осью OX: \( x^2 + 7x + 6 = 0 \) => \( (x+1)(x+6) = 0 \) => \( x=-1 \) или \( x=-6 \).

Случай 2: \( x+6 < 0 \), то есть \( x < -6 \).

В этом случае \( |x+6| = -(x+6) \).

Функция принимает вид: \( y = x^2 + 11x - 4(-(x+6)) + 30 = x^2 + 11x + 4x + 24 + 30 = x^2 + 15x + 54 \).

Для построения графика найдём вершину параболы \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{15}{2} = -7.5 \).

\( y_в = (-7.5)^2 + 15(-7.5) + 54 = 56.25 - 112.5 + 54 = -2.25 \).

Найдем точки пересечения с осью OX: \( x^2 + 15x + 54 = 0 \) => \( (x+6)(x+9) = 0 \) => \( x=-6 \) или \( x=-9 \).

На графике будет отображена часть параболы \( y = x^2 + 7x + 6 \) для \( x \ge -6 \) и часть параболы \( y = x^2 + 15x + 54 \) для \( x < -6 \).

Ответ: график состоит из двух частей парабол.