5. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник, объем конуса равен 81л см³. Найдите радиус основания конуса.

5. Дано: осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, объем конуса (V) = 81π см³. Найти: радиус основания конуса (r).

Если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, то высота конуса h равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) от диаметра основания (2r). Следовательно:

$$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2r = r\sqrt{3}$$

Объем конуса вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Подставим известные значения:

$$81\pi \text{ см}^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (r\sqrt{3})$$ $$81\pi \text{ см}^3 = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3$$

Разделим обе части на π:

$$81 \text{ см}^3 = \frac{\sqrt{3}}{3} r^3$$

Умножим обе части на \(\frac{3}{\sqrt{3}}\):

$$r^3 = 81 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 81 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 81 \sqrt{3}$$ $$r^3 = 81\sqrt{3} \text{ см}^3$$

$$r^3 = \frac{243}{\sqrt{3}} \text{ см}^3$$ $$r = \sqrt[3]{\frac{243}{\sqrt{3}}} \text{ см}$$ $$r = 9 \text{ см}$$

Ответ: 9 см