Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания BC. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = \(\frac{1}{3}\)AD. Выразите векторы \(\vec{CK}\), \(\vec{KD}\) и \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{BA}\) и \(\vec{b} = \vec{CD}\).

Ответ: \(\vec{CK} = \frac{2}{3}\vec{CD} - \vec{CB} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\), \(\vec{KD} = \frac{1}{3}\vec{CD} = \frac{1}{3}\vec{b}\), \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{BA} = -\frac{1}{2}\vec{a}\).

1. Выразим вектор \(\vec{AD}\) через вектор \(\vec{BC}\):
   Так как \(AD = 3BC\), то \(\vec{AD} = 3\vec{BC}\).
2. Выразим вектор \(\vec{AK}\) через вектор \(\vec{AD}\):
   Так как \(AK = \frac{1}{3}AD\), то \(\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \vec{BC}\).
3. Выразим вектор \(\vec{BC}\) через вектор \(\vec{BA}\):
   Так как \(BC = \frac{1}{2}BA\), то \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{BA} = -\frac{1}{2}\vec{a}\).
4. Выразим вектор \(\vec{CK}\) через векторы \(\vec{CD}\) и \(\vec{CB}\):
   \(\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DK} = \vec{CD} - \vec{DC} = \vec{CD} - 2\vec{BC}\).
5. Подставим \(\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{a}\) и \(\vec{CD} = \vec{b}\) в выражение для \(\vec{CK}\):
   \(\vec{CK} = \vec{b} + \vec{KA} = \vec{CD} - \frac{2}{3}\vec{AD} = \vec{CD} - 2\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{CD} - \vec{CB} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\).
6. Выразим вектор \(\vec{KD}\) через вектор \(\vec{CD}\):
   Так как \(AK = \frac{1}{3}AD\), то \(KD = \frac{2}{3}AD = \frac{1}{3}CD\), следовательно, \(\vec{KD} = \frac{1}{3}\vec{CD} = \frac{1}{3}\vec{b}\).

Ответ: \(\vec{CK} = \frac{2}{3}\vec{CD} - \vec{CB} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\), \(\vec{KD} = \frac{1}{3}\vec{CD} = \frac{1}{3}\vec{b}\), \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{BA} = -\frac{1}{2}\vec{a}\).