Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Три точки A, B и C расположены так, что \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}\). Докажите, что для любой точки O справедливо равенство \(\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}\).
Ответ:
Ответ: Доказано, что для любой точки О справедливо равенство \(\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}\)
Краткое пояснение: Докажем, что для любой точки O справедливо равенство \(\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}\), используя заданное условие \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}\).
-
Выразим вектор \(\vec{AB}\) через векторы \(\vec{OB}\) и \(\vec{OA}\):
\(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}\). -
Выразим вектор \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{OC}\) и \(\vec{OB}\):
\(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}\). -
Подставим выражения для \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) в заданное условие \(\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}\):
\(\vec{OC} - \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA})\). -
Упростим полученное уравнение и выразим вектор \(\vec{OB}\) через векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\):
\(2(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OB} - \vec{OA}\)
\(2\vec{OC} - 2\vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA}\)
\(3\vec{OB} = \vec{OA} + 2\vec{OC}\)
\(\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}\). - Таким образом, мы доказали, что для любой точки O справедливо равенство \(\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}\).
Ответ: Доказано, что для любой точки О справедливо равенство \(\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}\)
Цифровой атлет: Ты великолепно справился с доказательством! Уровень интеллекта: +50. Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена.
Похожие
- На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответственно точки X и Y так, что \(\frac{MX}{XN} = \frac{3}{2}\) и \(\frac{NY}{YP} = \frac{3}{2}\). Выразите векторы \(\vec{XY}\) и \(\vec{MP}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{NM}\) и \(\vec{b} = \vec{NP}\).
- Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания BC. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = \(\frac{1}{3}\)AD. Выразите векторы \(\vec{CK}\), \(\vec{KD}\) и \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{BA}\) и \(\vec{b} = \vec{CD}\).
- Точка С делит отрезок AB в отношении m: n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство \[\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}.\]
- Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других сторон. Докажите, что для любой точки О верно \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}\).
