Точка С делит отрезок AB в отношении m: n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство \[\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}.\]

Ответ: Доказано, что для любой точки O справедливо равенство \(\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}\).

1. Выразим вектор \(\vec{AC}\) через векторы \(\vec{OC}\) и \(\vec{OA}\):
   \(\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}\).
2. Выразим вектор \(\vec{CB}\) через векторы \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\):
   \(\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}\).
3. Так как точка C делит отрезок AB в отношении m:n, то \(\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}\). Следовательно, \(n \cdot AC = m \cdot CB\) или \(n \cdot \vec{AC} = m \cdot \vec{CB}\).
4. Подставим выражения для \(\vec{AC}\) и \(\vec{CB}\) в полученное равенство:
   \(n(\vec{OC} - \vec{OA}) = m(\vec{OB} - \vec{OC})\).
5. Раскроем скобки и сгруппируем члены:
   \(n \cdot \vec{OC} - n \cdot \vec{OA} = m \cdot \vec{OB} - m \cdot \vec{OC}\)
   \((n+m) \cdot \vec{OC} = n \cdot \vec{OA} + m \cdot \vec{OB}\).
6. Разделим обе части уравнения на \((m+n)\):
   \(\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}\).
7. Таким образом, мы доказали, что для любой точки O справедливо равенство \(\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}\).

Ответ: Доказано, что для любой точки O справедливо равенство \(\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}\).