Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других сторон. Докажите, что для любой точки О верно \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}\).

Ответ: Доказано, что для любой точки О верно \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}\).

1. Обозначим вершины четырехугольника как P, Q, R, S, где A - середина PQ, C - середина RS, B - середина QR, D - середина PS.
2. Выразим векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\), \(\vec{OD}\) через векторы, идущие из точки O в вершины четырехугольника:
3. \(\vec{OA} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})\) (так как A - середина PQ)
4. \(\vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OQ} + \vec{OR})\) (так как B - середина QR)
5. \(\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OR} + \vec{OS})\) (так как C - середина RS)
6. \(\vec{OD} = \frac{1}{2}(\vec{OS} + \vec{OP})\) (так как D - середина PS)
7. Сложим векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\):
   \(\vec{OA} + \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ}) + \frac{1}{2}(\vec{OR} + \vec{OS}) = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ} + \vec{OR} + \vec{OS})\).
8. Сложим векторы \(\vec{OB}\) и \(\vec{OD}\):
   \(\vec{OB} + \vec{OD} = \frac{1}{2}(\vec{OQ} + \vec{OR}) + \frac{1}{2}(\vec{OS} + \vec{OP}) = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ} + \vec{OR} + \vec{OS})\).
9. Сравним полученные суммы векторов \(\vec{OA} + \vec{OC}\) и \(\vec{OB} + \vec{OD}\):
   Обе суммы равны \(\frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ} + \vec{OR} + \vec{OS})\), следовательно, \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}\).

Ответ: Доказано, что для любой точки О верно \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}\).