Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной 15. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 90. Объем пирамиды равен:

Основанием пирамиды является ромб со стороной $$a = 15$$.

Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = 90$$.

Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Так как основанием пирамиды является ромб, то у пирамиды 4 боковые грани.

$$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани}$$

$$S_{грани} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{90}{4} = 22,5$$

Площадь боковой грани равна половине произведения стороны основания на апофему боковой грани (высоту боковой грани).

$$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где h - апофема.

$$22,5 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$$

$$h = \frac{2 \cdot 22,5}{15} = \frac{45}{15} = 3$$

Апофема равна 3.

Так как каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности в ромб, а также апофема является диагональю квадрата, стороной которого является радиус вписанной окружности.

$$R = \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$

$$R = H = \frac{3}{\sqrt{2}}$$, где H - высота пирамиды.

Найдем площадь основания ромба. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 90.

$$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot H$$, где P - периметр ромба, H - высота боковой грани, она же апофема.

$$90 = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 15) \cdot H$$

$$90 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot H$$

$$90 = 30 \cdot H$$

$$H = 3$$

Тогда площадь основания ромба (основания пирамиды)

$$S_{осн} = a \cdot h_a$$

Сторона известна, найдем высоту, опущенную на сторону а. Воспользуемся тем, что радиус вписанной окружности ромба равен половине высоты ромба.

$$R = \frac{1}{2} h_a$$

$$h_a = 2R$$

$$h_a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

$$S_{осн} = 15 \cdot 3\sqrt{2} = 45\sqrt{2}$$

Тогда объем пирамиды равен:

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 45\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{135 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} = 45$$

Ответ: 3) 45.