Вычислите $$\sqrt[3]{11-4\sqrt{6}-\sqrt{8}-\sqrt{27}}$$.

Преобразуем выражение под корнем:

$$\sqrt[3]{11-4\sqrt{6}-\sqrt{8}-\sqrt{27}} = \sqrt[3]{11-4\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}$$

Предположим, что выражение под корнем можно представить в виде куба разности:

$$\sqrt[3]{(a - b - c)^3} = a - b - c$$ $$(a - b - c)^3 = a^3 - b^3 - c^3 - 3a^2b - 3a^2c + 3ab^2 - 3ac^2 - 6abc + 3b^2c + 3bc^2$$

Попробуем подобрать числа a, b, c так, чтобы выполнялось равенство.

Пусть $$a = 2$$, $$b = \sqrt{2}$$, $$c = \sqrt{3}$$

Тогда:

$$(2 - \sqrt{2} - \sqrt{3})^3 = 2^3 - (\sqrt{2})^3 - (\sqrt{3})^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 6 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3})^2 =$$ $$= 8 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - 12\sqrt{2} - 12\sqrt{3} + 12 - 18 - 12\sqrt{6} + 6\sqrt{3} + 9\sqrt{2} =$$ $$= (8 + 12 - 18) + (-2\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 9\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) - 12\sqrt{6} =$$ $$= 2 - 5\sqrt{2} - 9\sqrt{3} - 12\sqrt{6}$$

Это не то выражение, которое нам нужно. Попробуем другие значения a, b и c.

Пусть $$a = \sqrt{2}$$, $$b = \sqrt{3}$$, $$c = 1$$

Тогда:

$$(\sqrt{2} - \sqrt{3} - 1)^3 = (\sqrt{2})^3 - (\sqrt{3})^3 - 1^3 - 3 (\sqrt{2})^2 \sqrt{3} - 3 (\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (\sqrt{3})^2 - 3 \sqrt{2} \cdot 1^2 - 6 \sqrt{2} \sqrt{3} \cdot 1 + 3 (\sqrt{3})^2 \cdot 1 + 3 \sqrt{3} \cdot 1^2 =$$ $$= 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - 1 - 6\sqrt{3} - 6 + 9\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 6\sqrt{6} + 9 + 3\sqrt{3} =$$ $$= (-1 - 6 + 9) + (2\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) - 6\sqrt{6} =$$ $$= 2 + 8\sqrt{2} - 6\sqrt{3} - 6\sqrt{6}$$

Снова не то. Попробуем a = 3:

Пусть $$a = \sqrt{3}$$, $$b = \sqrt{2}$$, $$c = 1$$

Тогда:

$$(\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1)^3 = (\sqrt{3})^3 - (\sqrt{2})^3 - 1^3 - 3 (\sqrt{3})^2 \sqrt{2} - 3 (\sqrt{3})^2 \cdot 1 + 3 \sqrt{3} (\sqrt{2})^2 - 3 \sqrt{3} \cdot 1^2 - 6 \sqrt{3} \sqrt{2} \cdot 1 + 3 (\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3 \sqrt{2} \cdot 1^2 =$$ $$= 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 1 - 9\sqrt{2} - 9 + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 6\sqrt{6} + 6 + 3\sqrt{2} =$$ $$= (-1 - 9 + 6) + ( - 2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) - 6\sqrt{6} =$$ $$= -4 - 8\sqrt{2} + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{6}$$

Не подходит.

Попробуем преобразовать подкоренное выражение к виду квадрата разности:

$$11 - 4\sqrt{6} = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$a^2 + b^2 = 11$$ $$2ab = 4\sqrt{6}$$ $$ab = 2\sqrt{6}$$

Пусть $$a = 2\sqrt{2}$$, $$b = \sqrt{3}$$

Тогда:

$$(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 8 - 4\sqrt{6} + 3 = 11 - 4\sqrt{6}$$

Исходное выражение теперь имеет вид:

$$\sqrt[3]{(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}$$ $$\sqrt[3]{8 - 4\sqrt{6} + 3 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}$$ $$\sqrt[3]{11 - 4\sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}$$ $$\sqrt[3]{(2 - \sqrt{6})^2} = 2 - \sqrt{6}$$

Рассмотрим выражение, если $$a = \sqrt{2}$$, $$b = \sqrt{3}$$, $$c = 1$$

Тогда:

$$(a - b - c)^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{3} - 1)^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^3 - 3 (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 3 (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 1 =$$

Дальше не знаю.

Ответ: нет ответа