1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна $$3\sqrt{6}$$ см, а его измерения относятся как 3 : 3 : 6. Найдите: a) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

a) Пусть измерения параллелепипеда равны $$3x$$, $$3x$$ и $$6x$$. Так как основанием является квадрат, то два измерения равны. Диагональ прямоугольного параллелепипеда находится по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - измерения параллелепипеда. В нашем случае: $$3\sqrt{6} = \sqrt{(3x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2}$$ $$3\sqrt{6} = \sqrt{9x^2 + 9x^2 + 36x^2}$$ $$3\sqrt{6} = \sqrt{54x^2}$$ $$3\sqrt{6} = x\sqrt{54}$$ $$3\sqrt{6} = x\sqrt{9 \cdot 6}$$ $$3\sqrt{6} = 3x\sqrt{6}$$ $$x = 1$$ Таким образом, измерения параллелепипеда равны: $$3x = 3 \cdot 1 = 3$$ см $$3x = 3 \cdot 1 = 3$$ см $$6x = 6 \cdot 1 = 6$$ см Ответ: **3 см, 3 см, 6 см** б) Пусть $$\alpha$$ - угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Тогда синус этого угла можно найти, используя отношение высоты параллелепипеда к его диагонали. $$\sin(\alpha) = \frac{h}{d}$$, где $$h$$ - высота, $$d$$ - диагональ. В нашем случае $$h = 6$$ см, $$d = 3\sqrt{6}$$ см. $$\sin(\alpha) = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ Ответ: $$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{3}$$