2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, АВ=16 см, ∠CAB=45°.

Пусть O - середина AB. Так как треугольники ABD и ABC равнобедренные, то DO $$\perp$$ AB и CO $$\perp$$ AB. Так как плоскости ABD и ABC перпендикулярны, то DO $$\perp$$ (ABC) и CO $$\perp$$ (ABD). В треугольнике ABC, AO = BO = 8 см, $$\angle CAB = 45^\circ$$. По теореме косинусов: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle CAB)$$. Т.к. треугольник ABC равнобедренный (AB - основание), то AC=BC. Тогда $$AC^2 = 16^2 + AC^2 - 2 \cdot 16 \cdot AC \cdot \cos(45^\circ)$$ $$0 = 256 - 32 \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$32 \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 256$$ $$16\sqrt{2}AC = 256$$ $$AC = \frac{256}{16\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$$ OC = $$\sqrt{AC^2 - AO^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - 8^2} = \sqrt{128 - 64} = \sqrt{64} = 8$$ Теперь рассмотрим треугольник DOC. DO = $$\sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$$ CD = $$\sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$. Ответ: **CD = 10 см**