4. Основанием треугольной пирамиды является равнобедренный треугольник с основанном а и углом α при вершине. Двугранные углы пирамиды при ребрах основания равны β. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим боковые стороны основания:

   Углы при основании равнобедренного треугольника: \( \frac{180° - \alpha}{2} = 90° - \frac{\alpha}{2} \).

   Боковые стороны \( b \) можно найти по теореме синусов: \( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(90° - \frac{\alpha}{2})} \), тогда \( b = \frac{a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)} \).

2. Шаг 2: Находим площадь основания:

   \( S_{осн} = \frac{1}{2}b^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)})^2 \cdot \sin(\alpha) \).

3. Шаг 3: Находим высоту боковых граней (апофемы):

   Двугранные углы при основании равны \( \beta \). Высота пирамиды проектируется в центр вписанной окружности.

   Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{2S_{осн}}{a + 2b} \).

   Апофема боковой грани, опирающейся на основание \( a \): \( a_{pa} = \sqrt{h^2 + r^2} \), где \( h \) — высота пирамиды.

   Апофема боковой грани, опирающейся на боковую сторону \( b \): \( a_{pb} = \sqrt{h^2 + r^2} \).

4. Шаг 4: Выражаем высоту пирамиды:

   \( h = r \cdot \tan(\beta) \).

5. Шаг 5: Площадь боковой поверхности:

   \( S_{бок} = \frac{1}{2}(a \cdot a_{pa} + 2b \cdot a_{pb}) \).

Ответ: Решение требует численных значений \( a \), \( \alpha \) и \( \beta \). В общем виде: 1) \( S_{бок} = \frac{1}{2}(a \cdot a_{pa} + 2b \cdot a_{pb}) \); 2) \( h = r \cdot \tan(\beta) \).