Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 48. Синус острого угла трапеции равен $$\frac{3}{5}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD = 48, BC = 8, и $$\sin A = \frac{3}{5}$$. 1. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (48 - 8) / 2 = 40 / 2 = 20. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем $$\sin A = \frac{BH}{AB}$$. Чтобы найти высоту BH, нужно сначала найти боковую сторону AB. Мы знаем, что $$\sin A = \frac{3}{5}$$. Также мы знаем, что $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$, откуда $$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$. Следовательно, $$\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$. Так как $$\cos A = \frac{AH}{AB}$$, то $$AB = \frac{AH}{\cos A} = \frac{20}{\frac{4}{5}} = 20 \cdot \frac{5}{4} = 5 \cdot 5 = 25$$. Теперь найдем BH: $$BH = AB \cdot \sin A = 25 \cdot \frac{3}{5} = 5 \cdot 3 = 15$$. 3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{48 + 8}{2} \cdot 15 = \frac{56}{2} \cdot 15 = 28 \cdot 15 = 420$$. Ответ: 420