5. Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 18 см, диагональ - 17 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции необходимо знать ее высоту. Обозначим основания трапеции как $$a$$ и $$b$$, диагональ как $$d$$, а высоту как $$h$$. Из условия задачи известно, что основания трапеции равны 12 см и 18 см, диагональ - 17 см. Пусть $$a = 12$$ см, $$b = 18$$ см, $$d = 17$$ см. Т.к. трапеция равнобедренная, то высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, делит большее основание на два отрезка. Длина большего отрезка равна полусумме оснований, а длина меньшего отрезка равна полуразности оснований. Длина меньшего отрезка равна $$x = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см. Теперь можно найти высоту трапеции по теореме Пифагора: $$h^2 + x^2 = d^2$$ $$h^2 + 3^2 = 17^2$$ $$h^2 + 9 = 289$$ $$h^2 = 289 - 9$$ $$h^2 = 280$$ $$h = \sqrt{280} = \sqrt{4 \cdot 70} = 2\sqrt{70}$$ см Теперь найдем площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S = \frac{12 + 18}{2} \cdot 2\sqrt{70}$$ $$S = \frac{30}{2} \cdot 2\sqrt{70}$$ $$S = 15 \cdot 2\sqrt{70}$$ $$S = 30\sqrt{70}$$ см² Ответ: $$30\sqrt{70}$$ см²