3. Найдите площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 14 см и периметром 64 см.

3. Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC = 14$$ см и периметром $$P = 64$$ см. Так как треугольник равнобедренный, две его боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как $$x$$. Тогда периметр треугольника можно выразить как:

$$P = AC + AB + BC$$

$$P = 14 + x + x = 14 + 2x$$

Известно, что периметр равен 64 см, поэтому:

$$64 = 14 + 2x$$

$$2x = 64 - 14$$

$$2x = 50$$

$$x = 25$$

Итак, боковые стороны $$AB$$ и $$BC$$ равны 25 см.

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его высоту. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Обозначим высоту, проведенную к основанию $$AC$$, как $$h$$. Эта высота делит основание на два равных отрезка длиной 7 см каждый.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и боковой стороной. По теореме Пифагора:

$$h^2 + (\frac{AC}{2})^2 = AB^2$$

$$h^2 + 7^2 = 25^2$$

$$h^2 + 49 = 625$$

$$h^2 = 625 - 49$$

$$h^2 = 576$$

$$h = \sqrt{576} = 24$$ см

Теперь можно найти площадь треугольника по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168 \text{ см}^2$$

Ответ: 168 см²