Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $$CD$$, если $$AB = 24$$, а расстояния от центра окружности до хорд $$AB$$ и $$CD$$ равны соответственно 16 и 12.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$r$$ - радиус окружности. Пусть $$OM$$ - расстояние от центра до хорды $$AB$$, и $$ON$$ - расстояние от центра до хорды $$CD$$. Дано: $$AB = 24$$, $$OM = 16$$, $$ON = 12$$. Нужно найти $$CD$$. $$AM = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$$. В прямоугольном треугольнике $$OMA$$ по теореме Пифагора: $$OA^2 = OM^2 + AM^2$$, то есть $$r^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$. Следовательно, $$r = \sqrt{400} = 20$$. Пусть $$CN = \frac{CD}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$ONC$$ по теореме Пифагора: $$OC^2 = ON^2 + CN^2$$, то есть $$r^2 = ON^2 + CN^2$$. $$20^2 = 12^2 + CN^2$$ $$400 = 144 + CN^2$$ $$CN^2 = 400 - 144 = 256$$ $$CN = \sqrt{256} = 16$$ $$CD = 2 \cdot CN = 2 \cdot 16 = 32$$ Ответ: Длина хорды $$CD$$ равна 32.