16 Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром в точке О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Угол $$ACB$$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB$$. Значит, дуга $$AB$$ равна удвоенному углу $$ACB$$.

$$\angle ACB = 54^\circ$$

Дуга $$AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$$

Угол $$AOD$$ - центральный угол, опирающийся на ту же дугу $$AD$$. Значит, угол $$AOD$$ равен градусной мере дуги $$AD$$.

$$AC$$ - диаметр, значит, дуга $$AD + DC = 180^\circ$$

$$\angle AOD = \text{дуга }AD$$

$$\angle AOD = \text{дуга }AD = \text{дуга }AC - \text{дуга }DC$$

Диаметр $$BD$$ делит окружность пополам, поэтому дуга $$BC + CD= 180^\circ$$.

Дуга $$BC$$ равна углу $$BOC$$, так как угол $$BOC$$ - центральный, опирающийся на дугу $$BC$$.

Углы $$BOC$$ и $$AOD$$ - вертикальные, следовательно они равны.

$$\angle BOC = \angle AOD$$

$$\angle ACB = 54^\circ$$

Дуга $$AB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$$

$$\angle AOB = \text{дуга }AB = 108^\circ$$

$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB$$

$$\angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

Ответ: 72