144 Отрезки АВ и CD— диаметры окружности с центром О. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами окружности и вписанных углов.

1. а) Докажем, что хорды BD и AC равны.

   Рассмотрим углы ∠BAD и ∠CDA. Так как AB и CD - диаметры, то ∠BAD и ∠CDA - вписанные углы, опирающиеся на полуокружности. Следовательно, ∠BAD = ∠CDA = 90°.

   Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔDCA. У них:

   • AD - общая сторона
   • ∠BAD = ∠CDA = 90°
   • AB = CD (как диаметры одной окружности)

   Следовательно, ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что BD = AC.

2. б) Докажем, что хорды AD и BC равны.

   Рассмотрим углы ∠ADC и ∠ABC. Они также являются вписанными и опираются на полуокружности, следовательно, ∠ADC = ∠ABC = 90°.

   Рассмотрим треугольники ΔADC и ΔBCA. У них:

   • AC - общая сторона
   • ∠ADC = ∠ABC = 90°
   • CD = AB (как диаметры одной окружности)

   Следовательно, ΔADC = ΔBCA по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что AD = BC.

3. в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.

   Так как AB и CD - диаметры, то ∠BAD и ∠BCD - вписанные углы, опирающиеся на полуокружности. Следовательно, ∠BAD = ∠BCD = 90°.

Ответ: Доказано, что хорды BD и AC равны, хорды AD и BC равны, и ∠BAD = ∠BCD.