149 Отрезки АВ и CD – диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

а) Дано: AB и CD - диаметры окружности, O - центр окружности. Доказать: BD = AC

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔBOD и ΔAOC:

BO = AO = CO = DO (как радиусы одной и той же окружности), ∠BOD = ∠AOC (как вертикальные). Следовательно, ΔBOD = ΔAOC (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство сторон BD = AC.

б) Дано: AB и CD - диаметры окружности, O - центр окружности. Доказать: AD = BC

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC:

BO = AO = CO = DO (как радиусы одной и той же окружности), ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные). Следовательно, ΔAOD = ΔBOC (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство сторон AD = BC.

в) Дано: AB и CD - диаметры окружности, O - центр окружности. Доказать: ∠BAD = ∠BCD

Доказательство:

∠BAD - вписанный, опирается на дугу BD, ∠BCD - вписанный, опирается на дугу AD. Так как хорды BD = AC (доказано в пункте а), то дуги, на которые опираются эти хорды также равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, следовательно ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: доказано.