144 Отрезки АВ и CD диаметры окруж- ности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; B) ∠BAD = ∠BCD.

Для доказательства равенства хорд и углов в окружности, можно использовать свойства центральных и вписанных углов, а также равенство радиусов окружности.

1. а) Докажем, что хорды BD и AC равны.

   Так как AB и CD - диаметры, то они пересекаются в центре окружности (точка O). Рассмотрим треугольники ΔBOD и ΔAOC. В них:

   • BO = AO (радиусы окружности);
   • DO = CO (радиусы окружности);
   • ∠BOD = ∠AOC (как вертикальные).

   Следовательно, ΔBOD = ΔAOC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть BD = AC.

2. б) Докажем, что хорды AD и BC равны.

   Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC. В них:

   • AO = BO (радиусы окружности);
   • DO = CO (радиусы окружности);
   • ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные).

   Следовательно, ΔAOD = ΔBOC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AD = BC.

3. в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.

   ∠BAD - вписанный угол, опирающийся на дугу BD. ∠BCD - вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Так как хорды BD и AD равны (как доказано выше), то и дуги, на которые они опираются, тоже равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: Доказано, что хорды BD и AC равны, хорды AD и BC равны, и ∠BAD = ∠BCD.