4. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, так что LACO=∠BDO, AO:OB=2:3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

4. Рассмотрим отрезки AB и CD, пересекающиеся в точке O, так что ∠ACO = ∠BDO, AO:OB = 2:3. Периметр треугольника BOD равен 21 см. Найдем периметр треугольника ACO.

Рассмотрим треугольники ACO и BDO. У них ∠ACO = ∠BDO (по условию). Углы AOB и COD равны как вертикальные углы. Следовательно, треугольники ACO и BDO подобны по двум углам.

Так как треугольники подобны, их стороны пропорциональны. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон:

$$ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} $$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Пусть P_ACO - периметр треугольника ACO, а P_BOD - периметр треугольника BOD.

$$ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k $$ $$ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} $$ $$ P_{ACO} = \frac{2}{3} \cdot 21 = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} $$

Таким образом, периметр треугольника ACO равен 14 см.

Ответ: 14 см.