Отрезок AB не пересекается с плоскостью α. Через концы отрезка AB и его середину проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁ и M₁ соответственно. Докажите, что точки A₁, B₁ и M₁ лежат на одной прямой. Найдите AA₁, если BB₁ = 12 см, MM₁ = 8 см.

1. Пусть параллельные прямые имеют общее направление. Проекция на плоскость α вдоль этого направления переводит прямую AB в прямую A₁B₁. Поскольку M — середина AB, её образ M₁ является серединой A₁B₁. Следовательно, A₁, B₁ и M₁ лежат на одной прямой.

2. Так как AB не пересекает плоскость α, точки A и B находятся по одну сторону от неё. При параллельном проектировании расстояние до плоскости вдоль выбранного направления изменяется линейно, поэтому расстояние для середины равно среднему расстояний для концов: MM₁ = (AA₁ + BB₁) / 2.

3. Подставим данные: 8 = (AA₁ + 12) / 2. Тогда AA₁ + 12 = 16, откуда AA₁ = 4 см.

Ответ: A₁, B₁ и M₁ лежат на одной прямой; AA₁ = 4 см.