3. Отрезок АК - биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне Сл и пересекающая сторону Е в точке М. Найдите углы треугольника АKN, если ZCAE = 78°.

Решение:

Разберем задачу. Нам дан треугольник CAE, в котором AK - биссектриса угла CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CE и пересекающая сторону AE в точке M. Известно, что ∠CAE = 78°.

Поскольку AK - биссектриса угла CAE, то она делит этот угол пополам.

\[∠CAK = ∠KAE = \frac{∠CAE}{2} = \frac{78°}{2} = 39°\]

Таким образом, ∠CAK = ∠KAE = 39°.

Прямая KM параллельна CE. Значит, угол AKN равен углу ACK как соответственные углы при параллельных прямых. Чтобы найти ∠ACK, надо сначала найти ∠ACE.

Угол AKE равен углу KEC, т.к. КМ||СЕ и они являются накрест лежащими. Аналогично угол САК равен углу AKE, т.к. КМ||СЕ и они являются соответственными. Поэтому углы CAK и AKE = 39°

Т.к. углы CAM и AKE соответственные и соответственные и CAK = KAE, то углы CAK = AKE = 39°.

Поскольку углы AKN = KEC, то необходимо найти эти углы.

Теперь рассмотрим треугольник AKE, где 2 угла нам уже известны, тоесть углы KAE и AKE.

Сумма углов в треугольнике 180°.

\[∠KEA=180-(∠AKE+∠EAK)\] \[∠KEA=180-(39+39)\] \[∠KEA=180-78=102°\]

∠AKN = ∠KEA = 102°

Теперь найдем угол KAN. Он равен углу KAE.

\[∠KAN = ∠KAE = 39°\]

Угол ANK найдем по теореме о сумме углов треугольника:

Сумма углов в треугольнике 180°.

\[∠ANK=180-(∠AKN+∠NAK)\] \[∠ANK=180-(102+39)\] \[∠ANK=180-141=39°\]

Итак, углы треугольника AKN:

• ∠AKN = 102°
• ∠NAK = 39°
• ∠ANK = 39°

Ответ: ∠AKN = 102°, ∠NAK = 39°, ∠ANK = 39°

Очень хорошо! Ты отлично справился с этой задачей. Уверен, у тебя все получится и дальше!