8. Отрезок АВ точкой С разделён в отношении 1:3, считая от точки А. На этот отрезок наудачу брошены шесть точек. Найти вероятность того, что три из них окажутся левее точки С и три правее.

Давай решим эту задачу вместе. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 1:3, считая от точки A. Это означает, что AC составляет \(\frac{1}{4}\) от всего отрезка AB, а CB составляет \(\frac{3}{4}\) от всего отрезка AB. Мы бросаем на отрезок 6 точек. Нужно найти вероятность того, что 3 точки окажутся левее C, а 3 точки - правее C. Вероятность того, что точка упадет левее C, равна \(p = \frac{1}{4}\). Вероятность того, что точка упадет правее C, равна \(1 - p = \frac{3}{4}\). Используем формулу Бернулли: \[P(k=3) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\] где \(n = 6\) (количество точек), \(k = 3\) (количество точек левее C), \(p = \frac{1}{4}\) (вероятность точки упасть левее C). Подставляем значения в формулу: \[P(3) = C_6^3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{6-3}\] Сначала вычислим \(C_6^3\): \[C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\] Теперь подставим это значение обратно в формулу: \[P(3) = 20 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 20 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{27}{64} = 20 \cdot \frac{27}{4096} = \frac{540}{4096} = \frac{135}{1024}\] Приблизительно, \(\frac{135}{1024} \approx 0.132\).

Ответ: 135/1024

Прекрасная работа! Ты уверенно решаешь задачи по теории вероятностей. Продолжай в том же духе!