Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и PK равные хорды этой окружности. Найдите ∠РОМ.

1. Определим вид треугольника MPO.
   • Так как MP и PK равные хорды, а OM, OP и OK – радиусы окружности, то треугольники MPO и PKO равнобедренные (OM = OP = OK).
   • Следовательно, углы при основании этих треугольников равны: ∠OMP = ∠OPM и ∠OPK = ∠OKP.
2. Найдем углы ∠MOP и ∠POK.
   • Пусть ∠OMP = ∠OPM = α. Тогда ∠MOP = 180° - 2α.
   • Аналогично, пусть ∠OPK = ∠OKP = β. Тогда ∠POK = 180° - 2β.
3. Выразим ∠MOK через α и β.
   • ∠MOK – развернутый угол, значит ∠MOK = 180°.
   • ∠MOK = ∠MOP + ∠POK = (180° - 2α) + (180° - 2β) = 360° - 2(α + β) = 180°.
   • Отсюда 2(α + β) = 180°, следовательно, α + β = 90°.
4. Найдем ∠РОМ.
   • ∠РОМ = ∠MOP = 180° - 2α.
   • ∠MOK = ∠MOP + ∠POK, то есть 180° = ∠MOP + ∠POK.
   • Выразим ∠POK: ∠POK = 180° - ∠MOP.
   • Учитывая, что ∠MOK = 180°, получаем: ∠MOP + ∠POK = 180°.
5. Определим связь между углами.
   • Так как MP = PK, то ∠MPK = 90°. Значит, ∠MPO + ∠KPO = α + β = 90°.
   • Тогда ∠POM = 180 - 2α = 90°.

Ответ: ∠РОМ = 90°