152 На окружности с центром О отмечены точки А И В так, что угол АОВ – прямой. Отрезок ВС – диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Решение:

Рассмотрим ΔАОВ. Так как ∠АОВ - прямой, то ΔАОВ - прямоугольный. ОА = ОВ как радиусы окружности, следовательно, ΔАОВ - равнобедренный. Тогда углы при основании равны, ∠ОАВ = ∠ОВА = (180° - 90°)/2 = 45°.

Рассмотрим ΔАВС. ∠ВАС - вписанный угол, опирается на диаметр ВС, следовательно, ∠ВАС = 90°, ΔАВС - прямоугольный. ∠АВС = ∠АВО = 45°, следовательно, ∠АСВ = 180° - (90° + 45°) = 45°.

В прямоугольном треугольнике АВС углы при основании равны, следовательно, ΔАВС - равнобедренный. АВ и АС - катеты, следовательно, АВ = АС.

Ответ: доказано.