П.15 Узнайте: а) что меньше: \( \frac{7}{8} \) или \( \frac{9}{11} \) или \( \frac{15}{17} \); б) что больше: \( \frac{13}{14} \) или \( \frac{25}{28} \) или \( \frac{13}{15} \) или \( \frac{21}{25} \).

Решение:

а) Сравним дроби \( \frac{7}{8} \), \( \frac{9}{11} \), \( \frac{15}{17} \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( 8 \cdot 11 \cdot 17 = 1496 \).

\( \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 11 \cdot 17}{1496} = \frac{1309}{1496} \)

\( \frac{9}{11} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 17}{1496} = \frac{1224}{1496} \)

\( \frac{15}{17} = \frac{15 \cdot 8 \cdot 11}{1496} = \frac{1320}{1496} \)

Сравнивая числители: \( 1224 < 1309 < 1320 \). Наименьшее число — \( \frac{1224}{1496} \).

б) Сравним дроби \( \frac{13}{14} \), \( \frac{25}{28} \), \( \frac{13}{15} \), \( \frac{21}{25} \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( 1400 \) (или \( 420 \)?). Возьмём \( 1400 \) для простоты.

\( \frac{13}{14} = \frac{13 \cdot 100}{1400} = \frac{1300}{1400} \)

\( \frac{25}{28} = \frac{25 \cdot 50}{1400} = \frac{1250}{1400} \)

\( \frac{13}{15} = \frac{13 \cdot \frac{1400}{15}}{1400} = \frac{13 \cdot 93.33}{1400} \) - это неудобно. Возьмём общий знаменатель \( 14 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 1400 \). Нет, \( LCM(14, 28, 15, 25) = LCM(2 \times 7, 2^2 \times 7, 3 \times 5, 5^2) = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7 = 4 \times 3 \times 25 \times 7 = 12 \times 25 \times 7 = 300 \times 7 = 2100 \).

\( \frac{13}{14} = \frac{13 \times 150}{2100} = \frac{1950}{2100} \)

\( \frac{25}{28} = \frac{25 \times 75}{2100} = \frac{1875}{2100} \)

\( \frac{13}{15} = \frac{13 \times 140}{2100} = \frac{1820}{2100} \)

\( \frac{21}{25} = \frac{21 \times 84}{2100} = \frac{1764}{2100} \)

Сравнивая числители: \( 1764 < 1820 < 1875 < 1950 \). Наибольшее число — \( \frac{1950}{2100} \).

Ответ: а) Меньше \( \frac{9}{11} \). б) Больше \( \frac{13}{14} \).