6. PABC = 36, AB:AC = 5:8, BD = ?

Ответ: BD = 12

Разбираемся:

1. В треугольнике ABC известен периметр PABC = 36 и отношение сторон AB:AC = 5:8. Также известно, что AD - высота, и треугольник равнобедренный (AB = BC). Найдем высоту BD.
2. Пусть AB = 5x, тогда AC = 8x. Так как AB = BC, то BC = 5x.
3. Периметр треугольника: \[P_{ABC} = AB + BC + AC = 5x + 5x + 8x = 18x\] Значит, \[18x = 36\] \[x = 2\]
4. Тогда AB = 5 \cdot 2 = 10, AC = 8 \cdot 2 = 16.
5. Так как треугольник равнобедренный, высота BD является и медианой, то есть AD = DC = AC / 2 = 16 / 2 = 8.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: \[AB^2 = AD^2 + BD^2\] \[10^2 = 8^2 + BD^2\] \[BD^2 = 100 - 64 = 36\] \[BD = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: BD = 6