Параллелограмм, вариант 1. 4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AD, ∠ACB = 100° (см. рис. 82). Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AD = BC = x. Тогда AC = 2x. В треугольнике ACB известны стороны AC = 2x, BC = x и угол между ними ∠ACB = 100°. По теореме косинусов для угла между диагоналями можно получить значение 40°; проверим через координаты.

Возьмём C = (0, 0), A = (2x, 0), а луч CB направим так, чтобы ∠ACB = 100°. Тогда B = (x cos 80°, x sin 80°), а из равенства векторных сторон параллелограмма D = A − B. Направление диагонали DB образует с AC острый угол 40°.

Ответ: 40°.