5. Решите систему уравнений: \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ 3x - y = 3. \end{cases}

Решение: 1. Выразим y из второго уравнения: (y = 3x - 3). 2. Подставим это выражение в первое уравнение: (\frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2}\). 3. Приведем к общему знаменателю: (\frac{3x - 3 + x}{x(3x - 3)} = \frac{1}{2}\). 4. Упростим: (\frac{4x - 3}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2}\). 5. Умножим крест-накрест: (2(4x - 3) = 3x^2 - 3x). 6. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: (8x - 6 = 3x^2 - 3x), следовательно, (3x^2 - 11x + 6 = 0). 7. Решим квадратное уравнение. (D = (-11)^2 - 4(3)(6) = 121 - 72 = 49). (x_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{6} = \frac{11 + 7}{6} = 3); (x_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{6} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{2}{3}). 8. Найдем соответствующие значения y для каждого x: * Если (x = 3), то (y = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6). * Если (x = \frac{2}{3}), то (y = 3(\frac{2}{3}) - 3 = 2 - 3 = -1). Ответ: ((3, 6)) и (\left(\frac{2}{3}, -1\right)\).