6. Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, разность двух сторон равна 6 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Пусть x - длина равных сторон, а y - длина третьей стороны. Периметр равен 30 см, поэтому: 2x + y = 30 Разность двух сторон равна 6 см. Возможны два случая: 1) x - y = 6, тогда x = y + 6 Подставим в уравнение периметра: 2(y + 6) + y = 30 2y + 12 + y = 30 3y = 18 y = 6 x = 6 + 6 = 12 Стороны: 12 см, 12 см, 6 см. Проверим условие: 12 + 12 > 6, 12 + 6 > 12. Условие треугольника выполняется. Также, так как треугольник равнобедренный с двумя сторонами по 12 и третьей 6. Так как один из внешних углов острый, то внутренний угол больше 90 градусов. В равнобедренном треугольнике два угла одинаковые, и они прилежат к основанию. Если угол у вершины между двумя сторонами по 12 больше 90, то углы при основании меньше 45 (их сумма меньше 90). Угол между сторонами по 12 и 6 должен быть тупым, иначе все три были бы острыми (сумма углов 180). 2) y - x = 6, тогда y = x + 6 Подставим в уравнение периметра: 2x + x + 6 = 30 3x = 24 x = 8 y = 8 + 6 = 14 Стороны: 8 см, 8 см, 14 см. Проверим условие: 8 + 8 > 14, 8 + 14 > 8, 8 + 14 > 8. Условие треугольника выполняется. Однако, если угол при основании острый, то внешний угол - тупой. Если один из углов внешний острый, то, очевидно, что острый не при основании (у которого острый угол). Значит, угол при основании должен быть тупым. Но в таком случае, сумма этих двух углов превышает 180, что не допустимо. Значит стороны треугольника: 12, 12 и 6.