647. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины M, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

Так как DMFN ромб, то \(DM \parallel FN\). Тогда треугольник CDF подобен треугольнику CDE. \(\frac{CF}{CE} = \frac{DF}{DE} = \frac{CD}{CD}\). Пусть \(CD = x\) и \(DE = y\). Так как периметр CDE равен 55, то \(CE = 55 - x - y\). \(\frac{8}{55-x-y} = \frac{DN}{y}\).Т.к. DMFN - ромб, то \(DN=MF\). Тогда треугольник DEM подобен треугольнику DEC. \(\frac{DM}{DC} = \frac{EF}{CE} = \frac{DE}{DE}\). \(\frac{DM}{x} = \frac{12}{55-x-y}\). Так как MD=FN, то \(\frac{8}{55-x-y} = \frac{DM}{y}\) и \(\frac{DM}{x} = \frac{12}{55-x-y}\) . Тогда \(y = \frac{12}{8}x = \frac{3}{2}x\).Тогда \(CE=55-x-\frac{3}{2}x=55-\frac{5}{2}x\) и \(\frac{8}{55-\frac{5}{2}x} = \frac{DN}{\frac{3}{2}x}\), \(\frac{EF}{CE} = \frac{12}{55-\frac{5}{2}x} = \frac{DM}{x}\) . Тогда \(DN = \frac{8}{\frac{3}{2}x} (55-\frac{5}{2}x)=220x-5x/3x\)