641. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Краткое пояснение:

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию: a - d, a, a + d, где a - средняя сторона, d - разность прогрессии.

Тогда периметр треугольника равен:

(a - d) + a + (a + d) = 24

3a = 24

a = 8

Значит, одна из сторон треугольника равна 8 см.

Для того, чтобы определить, какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, нужно учесть, что сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. То есть должны выполняться неравенства:

a - d + a > a + d

a - d + a + d > a

a + a + d > a - d

Подставим a = 8:

8 - d + 8 > 8 + d

8 - d + 8 + d > 8

8 + 8 + d > 8 - d

Решим первое неравенство:

16 - d > 8 + d

2d < 8

d < 4

Решим второе неравенство:

16 > 8

Это неравенство выполняется всегда.

Решим третье неравенство:

16 + d > 8 - d

2d > -8

d > -4

Итак, -4 < d < 4. Так как длины сторон должны быть целыми, то d может принимать значения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Тогда возможные значения сторон треугольника:

• d = -3: 11, 8, 5
• d = -2: 10, 8, 6
• d = -1: 9, 8, 7
• d = 0: 8, 8, 8
• d = 1: 7, 8, 9
• d = 2: 6, 8, 10
• d = 3: 5, 8, 11

Ответ: Да, можно определить длину одной из сторон, она равна 8 см. Возможные целые значения длин сторон треугольника: 11, 8, 5; 10, 8, 6; 9, 8, 7; 8, 8, 8; 7, 8, 9; 6, 8, 10; 5, 8, 11.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма длин всех сторон равна 24 и выполняется неравенство треугольника (сумма двух сторон больше третьей).

Доп. профит: База. Знание свойств арифметической прогрессии и неравенства треугольника поможет решать более сложные геометрические задачи.