2. Период полураспада радия $$T = 1600$$ лет. Через какое время число атомов уменьшится в 4 раза?

Период полураспада радия $$T = 1600$$ лет. Необходимо найти время, через которое число атомов уменьшится в 4 раза.

За один период полураспада число атомов уменьшается в 2 раза. Пусть $$N_0$$ - начальное число атомов радия. Тогда через время $$t$$ число атомов $$N(t) = N_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$$.

Нам нужно найти $$t$$ такое, что $$N(t) = \frac{N_0}{4}$$.

$$\frac{N_0}{4} = N_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$$

$$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$$

$$2 = \frac{t}{1600}$$

$$t = 2 \cdot 1600 = 3200$$ лет.

Ответ: 3200 лет