1. В результате последовательной серии радиоактивных распадов уран $${}_{92}^{238}U$$ превращается в свинец $${}_{82}^{206}Pb$$. Сколько $$\alpha$$- и $$\beta$$-превращений он при этом испытывает?

При радиоактивном распаде урана-238 образуется свинец-206. Необходимо определить количество $$\alpha$$-распадов и $$\beta$$-распадов.

При $$\alpha$$-распаде ядро теряет 2 протона и 2 нейтрона (эквивалентно ядру гелия $${}_{2}^{4}He$$). При $$\beta$$-распаде один нейтрон превращается в протон, и испускается электрон и антинейтрино.

Пусть $$x$$ - число $$\alpha$$-распадов, а $$y$$ - число $$\beta$$-распадов.

Изменение массового числа: $$238 - 206 = 4x$$.

Изменение заряда ядра: $$92 - 82 = 2x - y$$.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 4x = 32 \\ 2x - y = 10 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x = \frac{32}{4} = 8$$.

Подставим $$x = 8$$ во второе уравнение:

$$2(8) - y = 10$$

$$16 - y = 10$$

$$y = 16 - 10 = 6$$.

Таким образом, происходит 8 $$\alpha$$-распадов и 6 $$\beta$$-распадов.

Ответ: 8 $$\alpha$$-распадов и 6 $$\beta$$-распадов.