4. Перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру, делит его в отношении 9:16. Найдите диаметр окружности, если перпендикуляр равен 36 см.

Пусть окружность с центром в точке O. Проведем диаметр AB и из точки C на окружности опустим перпендикуляр CD на диаметр AB. Пусть AD = 9x и DB = 16x. Тогда диаметр AB = AD + DB = 9x + 16x = 25x. Радиус окружности равен половине диаметра, то есть R = \(\frac{25x}{2}\). Так как CD - перпендикуляр, то \(\triangle ADC\) и \(\triangle CDB\) - прямоугольные. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике, высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. То есть, \(CD^2 = AD \cdot DB\). Подставим известные значения: \(36^2 = 9x \cdot 16x\) \(1296 = 144x^2\) \(x^2 = \frac{1296}{144} = 9\) \(x = 3\) Тогда диаметр AB = 25x = 25 * 3 = 75 см. Ответ: Диаметр окружности равен 75 см.