3. Радиусы \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны. Докажите, что касательные, проведенные через точки \(A\) и \(B\) также перпендикулярны.

Пусть касательные, проведенные через точки \(A\) и \(B\), пересекаются в точке \(C\). Так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, то \(\angle OAC = 90^\circ\) и \(\angle OBC = 90^\circ\). Рассмотрим четырехугольник \(OACB\). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит: \(\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ\) По условию \(\angle AOB = 90^\circ\), а \(\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ\), следовательно: \(90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ\) \(270^\circ + \angle ACB = 360^\circ\) \(\angle ACB = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ\) Таким образом, \(\angle ACB = 90^\circ\), что означает, что касательные, проведенные через точки \(A\) и \(B\), перпендикулярны. Что и требовалось доказать.