Первый насос каждую минуту перекачивает на 14 литров воды больше, чем второй. Найдите, сколько литров воды за минуту перекачивает второй насос, если резервуар объёмом 189 л он наполняет за 2 минуты дольше, чем первый насос наполняет резервуар объёмом 245 л.

Решение:

Пусть \( x \) л/мин — производительность второго насоса.

Тогда производительность первого насоса: \( x+14 \) л/мин.

Время наполнения резервуара объёмом 245 л первым насосом: \( t_1 = \frac{245}{x+14} \) мин.

Время наполнения резервуара объёмом 189 л вторым насосом: \( t_2 = \frac{189}{x} \) мин.

По условию, второй насос наполняет резервуар на 2 минуты дольше, чем первый:

\( t_2 = t_1 + 2 \)

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\( \frac{189}{x} = \frac{245}{x+14} + 2 \)

Приведём к общему знаменателю. Умножим все члены уравнения на \( x(x+14) \), при условии, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -14 \).

\( 189(x+14) = 245x + 2x(x+14) \)

Раскроем скобки:

\( 189x + 189 \cdot 14 = 245x + 2x^2 + 28x \)

\( 189x + 2646 = 273x + 2x^2 \)

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 2x^2 + 273x - 189x - 2646 = 0 \)

\( 2x^2 + 84x - 2646 = 0 \)

Разделим все члены на 2:

\( x^2 + 42x - 1323 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1323) \)

\( D = 1764 + 5292 \)

\( D = 7056 \)

Извлечём квадратный корень из \( D \):

\( \sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84 \)

Теперь найдём корни \( x \) по формуле:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x_1 = \frac{-42 + 84}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21 \)

\( x_2 = \frac{-42 - 84}{2 \cdot 1} = \frac{-126}{2} = -63 \)

Так как производительность насоса не может быть отрицательной, второй корень \( x_2 = -63 \) отбрасываем.

Следовательно, производительность второго насоса \( x = 21 \) л/мин.

Проверим: \( t_1 = \frac{245}{21+14} = \frac{245}{35} = 7 \) мин.

\( t_2 = \frac{189}{21} = 9 \) мин.

\( t_2 - t_1 = 9 - 7 = 2 \) мин. Условие задачи выполнено.

Ответ: 21