Питання №3 Розв'яжіть нерівність: -3x² + 27 ≤ 0

Решение:

Чтобы решить неравенство \( -3x^2 + 27 \le 0 \), сначала приравняем выражение к нулю:

\( -3x^2 + 27 = 0 \)

\( -3x^2 = -27 \)

\( x^2 = 9 \)

\( x = \pm 3 \)

Полученные значения \( x = -3 \) и \( x = 3 \) делят числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 3) \), \( (3; +\infty) \).

Проверим знаки выражения \( -3x^2 + 27 \) на каждом промежутке:

• При \( x = -4 \) (из \( (-\infty; -3) \)): \( -3(-4)^2 + 27 = -3(16) + 27 = -48 + 27 = -21 \) (отрицательное).
• При \( x = 0 \) (из \( (-3; 3) \)): \( -3(0)^2 + 27 = 27 \) (положительное).
• При \( x = 4 \) (из \( (3; +\infty) \)): \( -3(4)^2 + 27 = -3(16) + 27 = -48 + 27 = -21 \) (отрицательное).

Нам нужны значения, где \( -3x^2 + 27 \le 0 \), то есть отрицательные или равные нулю. Это промежутки \( (-\infty; -3] \) и \( [3; +\infty) \). Объединяя их, получаем \( x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty) \).

Ответ: A) \( x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty) \).