Питання №7 Розв'яжіть нерівність х²-2x-15 < 0

Решение:

Для решения нерівності \( x^2 - 2x - 15 < 0 \) сначала найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 15 = 0 \).

Используем теорему Виета (или дискриминант):

• Произведение корней \( x_1 x_2 = -15 \)
• Сумма корней \( x_1 + x_2 = 2 \)
• Корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \).

Полученные значения \( x = -3 \) и \( x = 5 \) делят числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 5) \), \( (5; +\infty) \).

График функции \( y = x^2 - 2x - 15 \) — парабола ветвями вверх. Она находится ниже оси Ox между корнями.

• На промежутке \( (-\infty; -3) \), например, при \( x = -4 \): \( (-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 \) (положительное).
• На промежутке \( (-3; 5) \), например, при \( x = 0 \): \( 0^2 - 2(0) - 15 = -15 \) (отрицательное).
• На промежутке \( (5; +\infty) \), например, при \( x = 6 \): \( 6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 \) (положительное).

Нам нужны значения, где \( x^2 - 2x - 15 < 0 \), то есть строго отрицательные. Это промежуток \( (-3; 5) \).

Ответ: Б) \( x \in (-3; 5) \).