Питання №6 Які з чисел є розв'язками нерівності х²- 5х + 6 ≤ 0?

Решение:

Для решения нерівності \( x^2 - 5x + 6 \le 0 \) сначала найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).

Используем теорему Виета (или дискриминант):

• Произведение корней \( x_1 x_2 = 6 \)
• Сумма корней \( x_1 + x_2 = 5 \)
• Корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).

Полученные значения \( x = 2 \) и \( x = 3 \) делят числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty; 2) \), \( (2; 3) \), \( (3; +\infty) \).

График функции \( y = x^2 - 5x + 6 \) — парабола ветвями вверх. Она находится ниже оси Ox между корнями.

• На промежутке \( (-\infty; 2) \), например, при \( x = 0 \): \( 0^2 - 5(0) + 6 = 6 \) (положительное).
• На промежутке \( (2; 3) \), например, при \( x = 2.5 \): \( (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \) (отрицательное).
• На промежутке \( (3; +\infty) \), например, при \( x = 4 \): \( 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \) (положительное).

Нам нужны значения, где \( x^2 - 5x + 6 \le 0 \), то есть отрицательные или равные нулю. Это промежуток \( [2; 3] \).

Из предложенных чисел только 2 и 1,5 (нет, 1,5 не входит), 2,5, 3 входят в этот промежуток.

Проверим числа:

• \( 0 \) — не входит.
• \( -1 \) — не входит.
• \( -1,5 \) — не входит.
• \( -2 \) — не входит.
• \( -2,5 \) — не входит.
• \( -3 \) — не входит.
• \( -3,5 \) — не входит.
• \( 1 \) — не входит.
• \( 1,5 \) — не входит.
• \( 2 \) — входит. \( 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \).
• \( 2,5 \) — входит. \( (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \).
• \( 3 \) — входит. \( 3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \).
• \( 3,5 \) — не входит.

Ответ: E) 2, Ж) 2,5, И) 3.