526 Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как √3л: 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Дано: $$\frac{S_{осн}}{S_{ос}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$$

а) Найдем угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Площадь основания: $$S_{осн} = \pi r^2$$

Площадь осевого сечения: $$S_{ос} = 2rh$$

$$\frac{\pi r^2}{2rh} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$$

$$\frac{r}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

$$\frac{h}{r} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Угол α между диагональю и плоскостью основания: $$\tan{\alpha} = \frac{h}{2r} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\alpha = \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 30^\circ$$

б) Найдем угол между диагоналями осевого сечения.

$$\tan{\beta} = \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

$$\beta = \arctan{\frac{2}{\sqrt{3}}} \approx 49.1^\circ$$

Угол между диагоналями равен 2$$\beta$$ = 2arctan(2/√3) ≈ 98,2°.

Другой угол между диагоналями равен 180° - 98,2° = 81,8°.

Тогда угол равен:

$$180^\circ - 2\alpha$$

Ответ: а) 30°; б) arctan(2/√3)