Площадь параллелограмма ABCD равна 180. Точка Е - середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.

Решение:

Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна 180.

Точка \( E \) — середина стороны \( AB \). Это значит, что \( AE = EB = \frac{1}{2} AB \).

Рассмотрим треугольник \( ADE \). Его основание \( AE = \frac{1}{2} AB \).

Высота, опущенная из вершины \( D \) на сторону \( AB \) (или её продолжение), для треугольника \( ADE \) и для параллелограмма \( ABCD \) одна и та же. Обозначим её \( h \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = AB \cdot h = 180 \).

Площадь треугольника \( ADE \) равна:

\[ S_{ADE} = \frac{1}{2} · AE · h \]

Так как \( AE = \frac{1}{2} AB \), подставим это в формулу площади:

\[ S_{ADE} = \frac{1}{2} · (\frac{1}{2} AB) · h = \frac{1}{4} AB · h \]

Мы знаем, что \( AB · h = 180 \), поэтому:

\[ S_{ADE} = \frac{1}{4} · 180 = 45 \]

Теперь рассмотрим площадь трапеции \( DAEC \). Она состоит из площади треугольника \( ADE \) и площади треугольника \( DEC \).

Альтернативный подход: Площадь трапеции \( DAEC \) равна площади параллелограмма \( ABCD \) минус площадь треугольника \( EBC \).

Площадь треугольника \( EBC \) равна:

\[ S_{EBC} = \frac{1}{2} · EB · h \]

Так как \( E \) — середина \( AB \), то \( EB = \frac{1}{2} AB \).

\[ S_{EBC} = \frac{1}{2} · (\frac{1}{2} AB) · h = \frac{1}{4} AB · h = \frac{1}{4} · 180 = 45 \]

Площадь трапеции \( DAEC \) равна:

\[ S_{DAEC} = S_{ABCD} - S_{EBC} = 180 - 45 = 135 \]

Ответ: 135